Critério de Estabilidade de Nyquist

Neste post vemos como usar o Critério de Estabilidade de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema a partir do Diagrama de Nyquist e a localização dos PMA (Polos de Malha Aberta) do sistema.

Veja a lista de posts do Controle de Sistemas Lineares em sequência.

Nota importante

O Critério de Estabilidade de Nyquist usa a Equação Característica do sistema. A equação característica é o denominador da função de FTMF (transferência de malha fechada). Portanto, para um sistema com função de transferência direta G(s) e função de transferência de realimentação negativa H(s), a FTMF Y(s)/R(s) é dada por

\displaystyle \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

Consequentemente a Equação Característica é

F(s) = 1+G(s)H(s)

Assim, quando falamos em Zeros e Polos estamos falando dos Zeros e Polos de F(s), da Equação Característica.

Isso é um dos grandes fatores de confusão quanto ao Critério de Estabilidade de Nyquist: são os Zeros da Eq. Característica que podem fazer o sistema ser instável, pois esses são os Polos da FTMF.

O Critério de Estabilidade de Nyquist

O Critério de Estabilidade de Nyquist é capaz de nos dizer se um sistema é estável ou instável através da característica do sistema no domínio da frequência (como o sistema se comporta para ondas senoidais de quaisquer frequências).

Para analisar a estabilidade de um sistema pelo Critério de Estabilidade de Nyquist precisamos de um gráfico polar de Ganho e Fase, também chamado de diagrama de Nyquist, que mostra o comportamento do ganho e da fase do sistema a medida que a frequência senoidal sobe de zero até o infinito.

A equação do critério de estabilidade é bem simples:

Z = P + N

N é o número de enlaces no sentido horário do ponto -1+j0.
P é o número de Polos de F(s) no lado direito do plano.
Z é o número de Zeros de F(s) no lado direito do plano.

A intenção desta equação é determinar algo difícil (o valor de Z) a partir de duas coisas mais fáceis de determinar (os valores de N e de P).

Determinando N

O número N (enlaces no sentido horário do ponto -1) nos diz a diferença entre zeros e polos no lado direito do plano. Basta olhar o diagrama de Nyquist e contar os enlaces no sentido horário do ponto -1. Se houverem enlaces no sentido anti-horário basta contar como número negativo.

Um enlace no sentido horário (N = 1) indica um Zero ao mais do que Polo no lado direito.

Um enlace no sentido anti-horário (N = -1) indica um Polo a mais do que Zero no lado direito.

E assim por diante…

Agora sabendo N, basta determinar P para que conhecemos o valor de Z.

Determinando P

O número P é o número de Polos de F(s) no lado direito. Notemos agora o seguinte: os polos da Eq. Característica [F(s) = 1+G(s)H(s)] são os mesmos polos da FTMA (função de transferência de malha aberta) [G(s)H(s)].

Em muitos livros diz-se que P é o número de Polos da FTMA, sem explicar que são os mesmos polos da Eq. Característica, e por isso podemos usar a FTMA para determinar P.

É fácil determinar os Polos da FTMA, portanto é fácil determinar P.

Determinando Z

Agora, finalmente, calculamos Z = N + P.

Z é o número de Zeros de F(s) no lado direito. E se o valor de Z é diferente de zero (número zero), isso significa que a FTMF é instável, pois possui Z polos no lado direito).

Isso porque os Zeros da Eq. Característica são os Polos da FTMF.

Ou seja, Zeros da Eq. Característica no lado direito são Polos da FTMF no lado direito.

Assim, para o sistema ser estável é necessário que Z = 0, ou seja, N = –P.

Determinando a estabilidade usando N e P

Com o que vimos acima, podemos concluir que:

Se N≤0 e N=–P, então o sistema é estável. Senão o sistema é instável.

De forma mais detalhada, temos o seguinte raciocínio:

Se N>0, então o sistema é instável, pois implica Z>0.

Se N≤0 e N>–P, então o sistema é instável, pois implica Z>0.

Se N≤0 e N=–P, então o sistema é estável, pois implica Z=0.

Autor: Djones Boni

Engenheiro Eletricista e Eletrônico. Professor de Engenharia Eletrônica na UTFPR Toledo. Interesses: Sistemas eletrônicos embarcados e de tempo real.

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