Transformação estrela-triângulo

Além de estar em série ou paralelo, resistores podem também estar formando uma estrela (ípsilon Y, tê T) ou um triângulo (delta Δ, pi Π).

Algumas vezes não é possível simplificar o circuito com apenas paralelo e série, sendo necessário realizar uma transformação estrela-triângulo ou triângulo-estrela.

Veja também como programar sua calculadora HP50g para calcular as transformações estrela-triângulo e triângulo-estrela!

Transformação estrela-triângulo de resistores
Transformação estrela-triângulo de resistores

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Resistores ligados em estrela em triângulo

Um conjunto de resistores ligados em estrela possui três terminais externos A, B, C e um terminal interno N.

Um conjunto de resistores ligados em triângulo possui os mesmos três terminais externos A, B, C e nenhum terminal interno.

A transformação estrela-triângulo de resistores busca um circuito equivalente em triângulo que seja idêntico ao circuito em estrela.

Da mesma forma, a transformação triângulo-estrela de resistores busca um circuito equivalente em estrela que seja idêntico ao circuito em triângulo.

Transformação estrela-triângulo de resistores
Transformação estrela-triângulo de resistores

 

Transformação triângulo-estrela ∆→Y

Começamos transformando resistências de triângulo para estrela.

Quando medimos a resistência entre os terminais A e B de ambos triângulo e estrela, para serem equivalentes eles devem medir a mesma resistência. O mesmo é válido para os outros dois pares de terminais.

Assim obtemos as seguintes equações, onde || significa operação de paralelo de resistências e definimos R como a soma das três resistências delta.

RA+RB = RAB||(RBC+RCA) = RAB(RBC+RCA)/R

RB+RC = RBC||(RCA+RAB) = RBC(RCA+RAB)/R

RC+RA = RCA||(RAB+RBC) = RCA(RAB+RBC)/R

R = RAB+RBC+RCA

Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos o seguinte.

RA-RC = RCA(RAB-RBC)/R

Somando esta equação com a terceira equação e dividindo por 2 obtemos a equação para RA e por consequência obtemos RB e RC.

RA = RABRCA/R

RB = RBCRAB/R

RC = RCARBC/R

R = RAB+RBC+RCA

Assim concluímos que RA, a resistência equivalente Y do terminal A, é igual a multiplicação das resistências ∆ adjacentes a ela RABRCA dividido pela soma das três resistências ∆ RAB+RBC+RCA. As outras duas resistências são análogas.

Transformação estrela-triângulo Y→∆

Da Lei de Kirchhoff das tensões entre os nós C, N do circuito Y obtemos a seguinte equação. Consideramos todas as correntes entrando no terminal na direção de N e RY = RA||RB||RC.

VN = VC-ICRC = VC+VARC/RA+VBRC/RB-VNRC/(RA||RB)

VN = RY(VA/RA+VB/RB+VC/RC)

RY = RA||RB||RC

Calculando as correntes do circuito Y obtemos as seguintes correntes.

IA = (VA-VN)/RA = VA(1/RA-RY/RA2)-VBRY/RARB-VCRY/RARC

IB = (VB-VN)/RB = -VARY/RARB+VB(1/RB-RY/RB2)-VCRY/RBRC

IC = (VC-VN)/RC = -VARY/RARC-VBRY/RBRC+VC(1/RC-RY/RC2)

Da Lei de Kirchhoff das correntes nos nós A, B, C do circuito ∆ obtemos as seguintes equações. Consideramos as correntes dos resistores indo de A para B, de B para C e de C para A.

IA = IAB – ICA = VA/(RAB||RCA)-VB/RAB-VC/RCA

IB = IBC – IAB = -VA/RAB+VB/(RAB||RBC)-VC/RBC

IC = ICA – IBC = -VA/RCA-VB/RBC+VC/(RBC||RCA)

Como ambos os circuitos são equivalentes um do outro, é necessário que as correntes sejam iguais. Portanto cada termo correspondente a uma das entradas deve ser igual nas duas equações. Com facilidade podemos usar IA para determinar RAB e RCA e usar IB para determinar RAB e chegar a conclusão abaixo.

RAB = RARB/RY

RBC = RBRC/RY

RCD = RCRA/RY

RY = RA||RB||RC

Assim concluímos que RAB, a resistência equivalente ∆ entre os terminais AB, é igual a multiplicação das resistências Y adjacentes a ela RARB dividido pelo paralelo das três resistências Y RA||RB||RC. As outras duas resistências são análogas.

Note que tanto as equações como o algoritmo são muito parecidos com a transformação triângulo-estrela!

Alguns livros trazem as equações a seguir, que são consequência das equações acima. Também há outra forma menos intuitiva de chegar diretamente nas e equações abaixo a partir das equações de triângulo para estrela, que não discutiremos aqui.

RAB = (RARB+RBRC+RCRA)/RC

RBC = (RARB+RBRC+RCRA)/RA

RCA = (RARB+RBRC+RCRA)/RB

Calculando transformação estrela-triângulo na HP50g

Caso esteja interessado em aprender a programar a calculadora HP50g veja nosso Curso Calculadora HP50g.

Neste ponto você já deve ter entendido o básico de como programamos na HP50g e de como usar os programas nos modos RPN e algébrico. Se não for o caso, revise as aulas sobre a) Resistência equivalente série e paralelo, b) Divisor de tensão e c) Divisor de corrente, onde temos a explicação passo-a-passo de como criar aqueles programas. Agora vamos direto aos programas!

Programa triângulo para estrela

Para simplificar o programa utilizamos quatro variáveis globais. Logo no início do programa colocamos o valor zero na pilha para ser lido junto com as resistências ∆. Na segunda linha calculamos o valor de R e guardamos na variável Rd, que foi inicializada com zero. As outras três linhas calculam os valores de RA, RB e RC.

« 0 → RAB RBC RCA Rd «
  'RAB+RBC+RCA' EVAL 'Rd' STO
  'RAB*RCA/Rd' EVAL
  'RBC*RAB/Rd' EVAL
  'RCA*RBC/Rd' EVAL
» »

Guarde este programa com nome “∆→Y” (a flecha e o delta podem ser encontrados no menu de caracteres [┌→][EVAL]).

Programa estrela para triângulo

Novamente, para simplificar o programa utilizamos quatro variáveis globais. Logo no início do programa colocamos o valor zero na pilha para ser lido junto com as resistências Y. Na segunda linha calculamos o valor de RY e guardamos na variável Ry, que foi inicializada com zero. As outras três linhas calculam os valores de RAB, RBC e RCA.

« 0 → RA RB RC Ry «
  '1/(1/RA+1/RB+1/RC)' EVAL 'Ry' STO
  'RA*RB/Ry' EVAL
  'RB*RC/Ry' EVAL
  'RC*RA/Ry' EVAL
» »

Guarde este programa com nome “Y→∆” (a flecha e o delta podem ser encontrados no menu de caracteres [┌→][EVAL]).

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Autor: Djones Boni

Engenheiro Eletricista e Eletrônico. Professor de Engenharia Eletrônica na UTFPR Toledo. Interesses: Sistemas eletrônicos embarcados e de tempo real.

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