Resposta natural do circuito RL

A resposta natural de um circuito RL é a resposta às condições iniciais, sem que haja uma fonte de alimentação no circuito.

Veremos como determinar a equação diferencial que representa o circuito RL sem fonte e, a partir dela, obter a resposta natural.

Circuito RL sem fonte
Circuito RL sem fonte

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Resposta natural do um circuito RL

A resposta natural de um circuito é a resposta a suas condições iniciais, sem a existência de fontes no circuito.

Para determinar a resposta natural de um circuito RL basta encontrar duas informações:

  1. A corrente inicial do indutor i(0)=I0; e
  2. A constante de tempo τ=L/R.

A resposta natural do circuito RL, para t>0, será a seguinte.

i(t) = I0e-t/τ

Determinando a equação diferencial

Vejamos agora como determinar a equação diferencial do circuito RL sem fonte e em seguida como resolver ela.

Circuito RL sem fonte
Circuito RL sem fonte

Do circuito RL acima, estamos interessados na corrente i(t), que é a variável comum entre o indutor e o resistor.

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões obtemos que a soma da tensão no indutor e do resistor é nula.

vL – vR = 0

A partir da Lei de Ohm e da equação de tensão do indutor obtemos as tensões em função da corrente i(t).

vR = Ri

vL = L di/dt

Substituindo na equação anterior obtemos o seguinte, que é a equação diferencial deste circuito.

L di/dt + Ri = 0

di/dt + iR/L = 0

Resolvendo a equação diferencial

Isolando o termo derivativo da equação diferencial podemos ver que, para satisfazer a equação diferencial, a derivada de i(t) deve ser proporcional a própria função i(t).

di/dt = –iR/L

Portanto, i(t) deve ser uma exponencial, que é o único tipo de função com esta característica. Fazendo uma função exponencial i(t)=Aebt e substituindo na equação diferencial obtemos o seguinte.

bAebt + AebtR/L = 0

Podemos cancelar Aebt e concluímos que b = –R/L.

Analisando i(t) no instante t=0, podemos ver a constante A=i(0) é a condição inicial do circuito.

Chamaremos o valor τ=L/R a constante de tempo do circuito e I0=i(0) a condição inicial, obtemos a seguinte solução para a equação diferencial do circuito RL sem fontes, a resposta natural.

i(t) = I0e-t/τ

Note que esta resposta é válida apenas para t>0, pois não consideramos como o circuito chegou até a condição i(0)=I0.

Como gerar uma condição inicial

Agora vejamos como criar uma condição inicial específica em um circuito RL.

Para isso, basta ligar uma fonte de corrente com amplitude I0 em paralelo com o indutor e o resistor, de forma que produza corrente I0 no indutor L, e no instante t=0 desligar a fonte de corrente do circuito.

Até o instante t=0 o circuito é um circuito CC normal, onde o indutor se comporta como um curto-circuito. No instante t=0 a chave abre e ocorre a resposta natural do circuito.

Gerando condições iniciais em circuito RL
Gerando condições iniciais em circuito RL

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Autor: Djones Boni

Engenheiro Eletricista e Eletrônico. Professor de Engenharia Eletrônica na UTFPR Toledo. Interesses: Sistemas eletrônicos embarcados e de tempo real.

2 comentários em “Resposta natural do circuito RL”

  1. Aqui é a Amanda M., eu gostei muito do seu artigo seu conteúdo vem me ajudando bastante, muito obrigada.

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