Resposta forçada do circuito RC

A resposta forçada de um circuito RC é a resposta a presença de uma fonte, com condições iniciais nulas.

Veremos como determinar a equação diferencial que representa o circuito RC com fonte e, a partir dela, obter a resposta forçada em conjunto com a resposta natural, ou seja, obteremos a resposta completa do circuito.

Circuito RC com fonte
Circuito RC com fonte

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Resposta ao degrau do um circuito RC

Para determinar a resposta ao degrau de um circuito RC basta encontrar três informações:

  1. A tensão inicial do capacitor V0=v(0);
  2. A tensão final do capacitor V1=v(+∞); e
  3. A constante de tempo τ=RC.

A resposta do degrau do circuito RC, para t>0, será a seguinte.

v(t) = V1 – (V1 – V0) e-t/τ

Determinando a equação diferencial

Vejamos agora como determinar a equação diferencial do circuito RC com fonte e em seguida como resolver ela.

Circuito RC com fonte
Circuito RC com fonte

Do circuito RC acima, estamos interessados na tensão no capacitor v(t).

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões obtemos a seguinte equação, onde vS é a tensão da fonte, vR é a tensão no resistor e v é a tensão no capacitor.

vS – vR – v = 0

A corrente i nos elementos é dada através da Lei de Ohm e da equação de corrente no capacitor.

i = (vS – v)/R = C dv/dt

Rearranjando os elementos obtemos a equação diferencial do circuito.

dv/dt + v/RC = vS/RC

Note o termo da direita que relaciona a fonte de tensão e veja que fazendo vS=0 obtemos o mesmo circuito e a mesma equação diferencial para o caso da resposta natural (sem fonte).

Resolvendo a equação diferencial

Esta equação diferencial é mais complexa que no caso da resposta natural, sendo difícil resolvê-la por inspeção. Agora utilizaremos uma técnica de resolução de equações de primeira ordem, que consiste em transformar o lado esquerdo da equação diferencial em uma derivada de uma multiplicação de duas funções.

dv/dt + v/RC = vS/RC

Multiplicamos a equação diferencial por uma exponencial.

eatdv/dt + eatv/RC = eatvS/RC

Esta exponencial deve fazer os termos da esquerda ser uma derivada de uma função eatφ(t). Pela regra da diferenciação de uma multiplicação obtemos o seguinte.

d{eat φ(t)}/dt = eatdφ(t)/dt + aeatφ(t)

Comparando esta equação com a anterior podemos ver que φ(t)=v(t) e que a=1/RC. Dessa forma temos o seguinte, com τ=RC.

d{v(t)et/τ}/dt = (1/τ) et/τ vS(t)

Integrando esta equação, com limites de -∞ a t, e multiplicando por e-t/ τ obtemos a resposta do circuito RC forçada pela fonte vS(t), onde τ=RC é a constante de tempo.

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τvS(t) dt

Resposta completa

Sabemos que a resposta natural de um sistema é a resposta a condições iniciais, sem fontes de excitação externa.

vnatural(t) = VOe–t/τu(t)

Sabemos também que a resposta forçada de um sistema é a resposta a fontes de excitação externa, sem condições iniciais.

vforçada(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τvS(t) dt

A resposta completa de um sistema é a resposta do sistema a ambas situações, onde temos tanto a fonte de excitação externa quanto uma condição inicial.

Em sistemas lineares podemos determinar a resposta completa a partir do princípio da superposição, somando as respostas forçada e natural.

v(t) = vforçada(t) + vnatural(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τvS(t) dt + VOe–t/τu(t)

Note que considerar condições iniciais VO=v(0) faz sentido apenas quando vS(t) é nula para t<0.

Obtendo a resposta ao degrau

Para obter a resposta ao degrau, basta utilizar a equação anterior e substituir vS(t)=VSu(t).

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τvS(t) dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τ{VSu(t)} dt + VOe–t/τu(t)

A constante VS pode sair da integral. Como u(t)=0 para t<0, podemos extrair ela para fora da integral e alterar o limite de integração inferior para 0.

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) ∫0t et/τ dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) [τet/τ]0t + VOe–t/τu(t)

v(t) = VSe–t/τu(t) [et/τ]0t + VOe–t/τu(t)

v(t) = VSe–t/τu(t) [et/τ – 1] + VOe–t/τu(t)

v(t) = VSu(t) – VSe–t/τu(t) + VOe–t/τu(t)

Nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta forçada e a resposta natural.

v(t) = VSu(t) + (VO – VS)e–t/τu(t)

Já nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta de regime permanente e a resposta transitória.

Obtendo a resposta ao impulso

Para obter a resposta ao impulso, basta substituir vS(t)=VSδ(t).

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τvS(t) dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τ{VSδ(t)} dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VS-∞t et/τδ(t) dt + VOe–t/τu(t)

Como δ(t)=0 para t≠0, podemos substituir et/τ=1 (valor em t=0). A integral do impulso é o degrau.

v(t) = (e–t/τ/τ) VS-∞t δ(t) dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) + VOe–t/τu(t)

v(t) = (VS/τ) e–t/τu(t) + VOe–t/τu(t)

Nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta forçada e a resposta natural.

O impulso VSδ(t) gera um aumento de tensão instantâneo de amplitude VS/τ no capacitor. A tensão do capacitor decai como na resposta natural.

v(t) = (VS/τ + VO) e–t/τu(t)

Já nesta equação podemos ver que a resposta é completamente transitória, ou seja, a resposta de regime permanente é nula.

Obtendo a resposta a rampa

Para obter a resposta a rampa, basta substituir vS(t)=VSr(t)=VStu(t).

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τvS(t) dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τ{VStu(t)} dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) ∫0t tet/τ dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) [τet/τ(t–τ)]0t + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) [τet/τ(t–τ) + τ2] + VOe–t/τu(t)

v(t) = VS(t–τ)u(t) + VSτe–t/τu(t) + VOe–t/τu(t)

Nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta forçada e a resposta natural.

v(t) = VS(t–τ)u(t) + (VS+VO)e–t/τu(t)

Já nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta de regime permanente e a resposta transitória.

v(t) = VSt u(t) – Vsτ u(t) + (VS+VO)e–t/τu(t)

Separando a resposta de regime permanente podemos ver ainda que a resposta completa possui três partes: uma rampa, um degrau e uma exponencial. O degrau é chamado de erro em regime permanente.

Obtendo a resposta a exponencial

Para obter a resposta a exponencial, basta substituir vS(t)=VSe-t/αu(t). Note que assumimos α≠τ; tende obter a resposta para α=τ.

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τvS(t) dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) ∫-∞t et/τ{VSe-t/αu(t)} dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) ∫0t et/τe-t/α dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) ∫0t et(1/τ-1/α) dt + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) [ατ/(α–τ)] [et(1/τ-1/α)]0t + VOe–t/τu(t)

v(t) = (e–t/τ/τ) VSu(t) [ατ/(α–τ)] [et(1/τ-1/α) – 1] + VOe–t/τu(t)

v(t) = VSe–t/τ u(t) [α/(α–τ)] [et(1/τ-1/α) – 1] + VOe–t/τu(t)

v(t) = VS[α/(α–τ)][e-t/α – e–t/τ] u(t) + VOe–t/τu(t)

Nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta forçada e a resposta natural.

v(t) = VS[α/(α–τ)]e-t/α u(t)+ (VO – VS[α/(α–τ)])e–t/τu(t)

Já nesta equação podemos ver claramente a divisão entre a resposta de regime permanente e a resposta transitória.

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Autor: Djones Boni

Engenheiro Eletricista e Eletrônico. Professor de Engenharia Eletrônica na UTFPR Toledo. Interesses: Sistemas eletrônicos embarcados e de tempo real.

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