Funções singulares

Funções singulares são funções que são descontínuas ou tem derivadas descontínuas.

Estas funções são muito úteis para realizar análise matemática de circuitos elétricos e são frequentemente utilizadas em conjunto com outras funções para formar funções mais complexas.

A seguir vemos as funções singulares mais importantes: degrau, impulso, rampa.

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Degrau unitário

Degrau unitário u(t) é um sinal que muda de nível abruptamente, passando do nível 0 para o nível 1 no instante t=0.

u(t) =
{ 0, t<0
{ 1, t>0

O degrau serve para modelar sinais que mudam bruscamente, como uma chave fechando.

Atrasando e adiantando o degrau unitário

Através de uma troca de variável podemos atrasar ou adiantar o degrau unitário. Para isso trocamos t por t–t0 para atrasar ou por t+t0 para adiantar.

Para atrasar o degrau o tempo t0, basta subtrair o tempo t0 na função. O degrau, mudança de nível, vai atrasar e acontecer no instante t=t0.

u(t–t0) =
{ 0, t<t
0
{ 1, t>t
0

Para adiantar o degrau o tempo t0, basta somar o tempo t0 na função. O degrau, mudança de nível, vai adiantar e acontecer no instante t=–t0.

u(t+t0) =
{ 0, t<–t
0
{ 1, t>–t
0

Invertendo o degrau unitário no tempo

Com outra troca de variável podemos inverter o degrau unitário no tempo, fazendo o valor mudar de um para zero no instante t=0. Fazemos isso substituindo t por –t na função, fazendo u(–t). No entanto, esta função é equivalente a 1–u(t).

u(–t) = 1–u(t)
{ 1, t<0
{ 0, t>0

Impulso unitário

Impulso unitário δ(t) é um sinal instantâneo, de amplitude infinita e duração infinitesimal que ocorre no instante t=0. O impulso unitário δ(t) pode ser definido como a derivada do degrau unitário u(t).

δ(t) = du(t)/dt =
{ 0, t<0
{ +∞, t=0
{ 0, t>0

Pela definição do impulso como a derivada do degrau, podemos dizer que a integral do impulso unitário é a unidade. Isso é válido tanto para a integral de menos infinito a mais infinito quanto para a integral de logo antes de zero até logo depois de zero.

–∞+∞ δ(t) dt = ∫0–0+ δ(t) dt = 1

O impulso serve para modelar sinais impulsivos rápidos, como uma descarga atmosférica (raio).

O impulso pode ser utilizado para instantaneamente inserir uma condição inicial em um circuito.

Assim como o degrau, o impulso também pode ser atrasado ou adiantado pela mesma mudança de variável.

Rampa unitária

Rampa unitária r(t) é um sinal que varia uniformemente a partir do instante t=0, sendo zero antes disso. A rampa unitária r(t) pode ser definida como a integral do degrau unitário u(t).

r(t) = ∫–∞t u(t) dt =
{ 0, t<0
{ t, t≥0

O impulso serve para modelar sinais que variam uniformemente, como o deslocamento de um motor com velocidade constante.

Assim como o degrau, a rampa também pode ser atrasada ou adiantada pela mesma mudança de variável. A rampa pode também ser invertida no tempo, gerando uma função que decresce uniformemente desde o tempo menos infinito até zero, a partir de onde seu valor é zero.

r(-t) =
{ -t, t≤0
{ 0, t>0

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Autor: Djones Boni

Engenheiro Eletricista e Eletrônico. Professor de Engenharia Eletrônica na UTFPR Toledo. Interesses: Sistemas eletrônicos embarcados e de tempo real.

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