Análise nodal

Neste post vemos como realizar a análise nodal de um circuito resistivo. A análise nodal é um método de análise de circuitos elétricos que utiliza a Lei de Kirchhoff das correntes para determinar as tensões nos nós do circuito.

Análise nodal com fontes de corrente
Análise nodal com fontes de corrente

Veja a lista de posts do Curso Circuitos Elétricos em sequência.

Introdução

As regras de simplificação de circuitos (série, paralelo e transformações estrela-triângulo), junto com divisão de tensão e corrente, são muito úteis para solução de circuitos com apenas uma fonte de alimentação. Com mais de uma fonte ainda podemos simplificar o circuito, mas não é mais possível resolver todo o circuito apenas com essas técnicas.

Precisamos então utilizar as Leis de Kirchhoff para resolver o circuito. Mas qual das duas leis utilizar? Como utilizar elas? Existe algum método?

Há dois métodos de análise de circuitos: a análise nodal e a análise de malhas. Cada uma utiliza uma das Leis de Kirchhoff para resolver circuitos.

Neste post veremos como realizar a análise nodal para resolver circuitos elétricos resistivos. A análise nodal utiliza a Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) para determinar as tensões dos nós do circuito elétrico.

Os nós são pontos onde dois ou mais terminais são conectados, como o ponto de ligação entre fonte e um resistor.

Análise nodal

A análise nodal é um tanto mais simples quando consideramos apenas fontes de corrente. Este é o primeiro caso que trataremos. Para exemplificar vamos utilizar o circuito abaixo.

Análise nodal com fontes de corrente
Análise nodal com fontes de corrente

O primeiro passo é identificar as correntes do circuito. Dê um nome para cada corrente, por exemplo I1, I2, I3… Tome cuidado para não repetir os nomes das fontes de corrente do circuito.

O segundo passo é identificar os nós do circuito. Os nós são lugares onde duas ou mais correntes se encontram. Escolha um dos nós como referência, a qual será considerado tensão nula (0 V), muitas vezes chamado de terra ou GND (ground).

Cada nó possui uma tensão, chamada tensão nodal (ou tensão de nó). Dê um nome para cada tensão nodal, por exemplo V1, V2, V3… Tome cuidado para não repetir os nomes das fontes de tensão do circuito.

O terceiro passo é aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) em cada nó, exceto o de referência. Isso nos fornece equações que relacionam cada uma das correntes.

I1-I3-I4 = 0

I3+I4+I2-I5 = 0

O quarto passo é determinar equações para as correntes que dependem das tensões nodais. Para isso usamos a Lei de Ohm.

I1 = 1 A

I2 = 2 A

I3 = (V1-V2)/R1 = V1-V2

I4 = (V1-V2)/R2 = V1/2-V2/2

I5 = V2/R3 = V2/3

O quinto passo, substituímos as equações das correntes nas equações dos nós.

1-(V1-V2)-(V1/2-V2/2) = 0

(V1-V2)+(V1/2-V2/2)+2-(V2/3) = 0

Rearranjamos as equações para formar um sistema de equações com as tensões de nós como incógnitas.

3V1-3V2 = 2

9V1-11V2 = -12

Agora basta resolvermos o sistema de equações para obtermos as tensões nodais.

V1 = 29/3 V = 9.667 V

V2 = 9 V

E este é o fim da análise nodal, pois calculamos as tensões nodais do circuito.

Podemos agora calcular as correntes a partir das tensões nodais, e já temos as equações no quarto passo.

Podemos também conferir os resultados verificando se as correntes calculadas satisfazem a LKC, cujas equações estão no terceiro passo.

Fontes de tensão no nó de referência

Vamos tratar agora da análise nodal com fontes de tensão com um dos terminais ligados no nó de referência. Para exemplificar vamos utilizar o circuito abaixo, onde substituímos a fonte de corrente de 2 A por uma fonte de tensão de 9 V, que deve nos dar o mesmo resultado.

Os passos são praticamente os mesmos.

Análise nodal com fontes de tensão na referência
Análise nodal com fontes de tensão na referência

O primeiro passo é idêntico. Determinamos as correntes do circuito e nomeamos as correntes I1, I2, I3…

O segundo passo também é idêntico. Identificamos os nós do circuito, escolhemos um nó como referência (0 V) e nomeamos as tensões nodais V1, V2, V3

O terceiro passo também é idêntico. Usamos a LKC para determinar a relação das correntes em cada nó.

I1-I3-I4 = 0

I3+I4+I2-I5 = 0

O quarto passo também é idêntico. Usamos a Lei de Ohm para determinar as equações das correntes a partir das tensões nodais.

I1 = 1 A

I2 = ???

I3 = (V1-V2)/R1 = V1-V2

I4 = (V1-V2)/R2 = V1/2-V2/2

I5 = V2/R3 = V2/3

Note que não temos como determinar a corrente I2. Vamos deixar ele como uma incógnita adicional.

O quinto passo também é idêntico. Substituímos as equações das correntes nas equações dos nós.

3V1-3V2 = 2

9V1-11V2 = -6I2

Note que agora temos duas equações e três incógnitas V1, V2, I2.

Temos três incógnitas? Olhe bem no circuito. O que podemos dizer sobre a tensão nodal V2?

A tensão nodal V2 já está definida pela fonte de tensão.

Agora temos duas formas de prosseguir:

  • Já que temos V2 basta substituir ele nas equações
  • Substituir a equação com I2 pelo valor de V2, como nova equação do sistemas

Substituir valor de V2 nas equações

Este é o método recomendado quando estamos resolvendo as equações manualmente, pois diminui o número de equações do sistema que devemos resolver.

3V1-3V2 = 2

9V1-11V2 = -6I2

Neste sistema simples podemos substituir V2 nas equações e teremos uma solução facilmente. Substituindo V2=9 V nas equações anteriores obtemos o seguinte.

3V1 = 29

9V1 = -6I2+99

Podemos ver que temos duas equações e duas variáveis.

Mas para a análise nodal só precisamos das tensões nodais. Já temos V2 e com a primeira equação obtemos V1.

V1 = 29/3 V = 9.667 V

V2 = 9 V

Novamente, agora podemos calcular as correntes a partir das tensões nodais. Exceto pela corrente I2, da qual necessitamos da LKC no seu nó, que obtivemos no terceiro passo. Podemos também calcular I2 com a equação extra do sistema, que é uma consequência da LKC.

Podemos também conferir os resultados verificando se as correntes calculadas satisfazem a LKC, cujas equações estão no terceiro passo.

Este método, de substituir o valor de V2 em todas as equações é bem simples e intuitivo. Mas em sistemas com várias equações ele muito trabalhoso e fácil de cometer erros.

Substituir equação com I2 pelo valor de V2 no sistema de equações

Este é o método recomendado quando estamos resolvendo as equações com a ajuda de um computador ou calculadora, pois dá menos trabalho e reduz os riscos de cometer erros.

3V1-3V2 = 2

9V1-11V2 = -6I2

Vamos substituir a equação com I2 pelo valor de V2. Sendo V2=9 V, substituímos a segunda equação obtendo o sistema seguinte.

3V1-3V2 = 2

0V1+V2 = 9

Agora basta resolvermos o sistema de equações para obtermos as tensões nodais, finalizando a análise nodal do circuito.

V1 = 29/3 V = 9.667 V

V2 = 9 V

Ressaltamos que agora é possível calcular as correntes através das equações obtidas anteriormente e que podemos verificar se os resultados são válidos.

Esta substituição da equação parece boba, mas quando utilizamos auxílio computacional para resolver os sistemas é muito mais fácil fazer isso do que reavaliar todas as equações.

Fontes de tensão em qualquer lugar

Vamos tratar agora da análise nodal com fontes de tensão com nenhum dos terminais ligados no nó de referência. Para exemplificar vamos utilizar o circuito abaixo, onde substituímos um resistor por uma fonte de tensão de 2/3 V (0.667 V), que deve nos dar o mesmo resultado.

Novamente há duas formas de resolver o problema:

  • Simplificar o sistema de equações e adicionar relações de tensões
  • Utilizar um super-nó e adicionar relações de tensões

Simplificar o sistema

Esse método utiliza as técnicas que já vimos, mas é necessário realizar uma substituição das correntes das fontes de tensão, o que se torna muito trabalhoso com circuitos um pouco mais complexos.

Os passos são praticamente os mesmos.

Análise nodal com fontes de tensão outros nós
Análise nodal com fontes de tensão outros nós

O primeiro passo é idêntico. Determinamos as correntes do circuito e nomeamos as correntes I1, I2

O segundo passo também é idêntico. Identificamos os nós do circuito, escolhemos um nó como referência (0 V) e nomeamos as tensões nodais V1, V2

O terceiro passo também é idêntico. Usamos a LKC para determinar a relação das correntes em cada nó.

I1-I3-I4 = 0

I3+I4+I2-I5 = 0

O quarto passo também é idêntico. Usamos a Lei de Ohm para determinar as equações das correntes a partir das tensões nodais.

I1 = 1 A

I2 = 2 A

I3 = ???

I4 = (V1-V2)/R2 = V1/2-V2/2

I5 = V2/R3 = V2/3

Note que agora não temos como determinar a corrente I3. Vamos deixar ele como uma incógnita adicional.

O quinto passo também é idêntico. Substituímos as equações das correntes nas equações dos nós.

V1-V2 = 2-2I3

3V1-5V2 = -12-6I3

Note que novamente temos duas equações e três incógnitas V1, V2, I3. Podemos em uma das equações isolar I3 e substituir na outra.

0V1-2V2 = -18

Agora temos uma equação e duas incógnitas.

Mas temos mesmo duas incógnitas? Olhe bem no circuito. O que podemos dizer sobre as tensões nodais V1 e V2?

Estão relacionadas pela fonte de tensão V3=2/3 V. Podemos colocar esta equação adicional no nosso sistema de equações.

0V1-2V2 = -18

V1-V2 = 2/3

Agora basta resolvermos o sistema de equações para obtermos as tensões nodais, finalizando a análise nodal do circuito.

V1 = 29/3 V = 9.667 V

V2 = 9 V

Ressaltamos que agora é possível calcular as correntes através das equações obtidas anteriormente e que podemos verificar se os resultados são válidos.

Esta substituição da equação parece boba, mas quando utilizamos auxílio computacional para resolver os sistemas é muito mais fácil fazer isso do que reavaliar todas as equações.

Utilizar um super-nó

Esse método elimina do sistema de equações as correntes das fontes de tensão, o que evita ter que realizar substituições e simplifica muito a resolução.

Precisamos criar um super-nó para cada fonte de tensão. O super-nó que queremos envolve os terminais da fonte de tensão, ou seja, a corrente na fonte de tensão (I3 no nosso caso) deve ficar toda dentro do super-nó. O super-nó é formado pelos dois nós normais e a fonte. Veja a figura.

Análise nodal com fontes de tensão outros nós
Análise nodal com fontes de tensão outros nós

Obviamente o super-nó causa a perda de uma equação que obteríamos através da LKC. Mas temos ainda a relação entre as tensões dos nós V1 e V2 dada pela fonte V3=2/3 V.

Assim obtemos o seguinte sistema de equações abaixo.

0V1-V2 = -9

V1-V2 = 2/3

Agora basta resolvermos o sistema de equações para obtermos as tensões nodais, finalizando a análise nodal do circuito.

V1 = 29/3 V = 9.667 V

V2 = 9 V

Revisão

A análise nodal é mais simples quando temos apenas fontes de corrente.

Quando temos fontes de tensão no circuito, não conseguimos obter uma equação para determinar a corrente dessa fonte a partir da Lei de Ohm.

Se a fonte de tensão possui algum terminal ligado ao nó de referência, podemos considerar a tensão do nó como sendo o valor da fonte de tensão. Isso nos dá uma equação a mais (ou elimina uma variável do sistema).

Já se a fonte de tensão não está ligada ao nó de referência, criamos um super-nó contendo a fonte de tensão e os dois nós de seus terminais. Esse super-nó elimina das equações a corrente da fonte de tensão. Assim ficamos com menos equações do que variáveis, o que pode ser contornado considerando que a diferença de tensão entre os nós da fonte é a própria tensão da fonte.

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Autor: Djones Boni

Engenheiro Eletricista e Eletrônico. Professor de Engenharia Eletrônica na UTFPR Toledo. Interesses: Sistemas eletrônicos embarcados e de tempo real.

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